Сформулируйте определение усеченного конуса его элементов. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

Введение

Рис. 1. Пред-ме-ты из жизни, име-ю-щие форму усе-чен-но-го ко-ну-са

Как вы ду-ма-е-те, от-ку-да в гео-мет-рии бе-рут-ся новые фи-гу-ры? Все очень про-сто: че-ло-век в жизни стал-ки-ва-ет-ся с по-хо-жи-ми объ-ек-та-ми и при-ду-мы-ва-ет, как бы их на-звать. Рас-смот-рим тумбу, на ко-то-рой сидят львы в цирке, кусок мор-ков-ки, ко-то-рый по-лу-ча-ет-ся, когда мы на-ре-за-ли толь-ко часть ее, дей-ству-ю-щий вул-кан и, на-при-мер, свет от фо-на-ри-ка (см. рис. 1).

Усеченный конус, его элементы и осевое сечение

Рис. 2. Гео-мет-ри-че-ские фи-гу-ры

Мы видим, что все эти фи-гу-ры по-хо-жей формы - и снизу, и свер-ху они огра-ни-че-ны кру-га-ми, но они сужа-ют-ся квер-ху (см. рис. 2).

Рис. 3. От-се-че-ние верх-ней части ко-ну-са

Это по-хо-же на конус. Толь-ко не хва-та-ет вер-хуш-ки. Мыс-лен-но пред-ста-вим, что мы берем конус и от-се-ка-ем от него верх-нюю часть одним взма-хом остро-го меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усе-чен-ный конус

По-лу-ча-ет-ся как раз наша фи-гу-ра, на-зы-ва-ет-ся она усе-чен-ный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Се-че-ние, па-рал-лель-ное ос-но-ва-нию ко-ну-са

Пусть дан конус. Про-ве-дем плос-кость, па-рал-лель-ную плос-ко-сти ос-но-ва-ния этого ко-ну-са и пе-ре-се-ка-ю-щую конус (см. рис. 5).

Она разо-бьет конус на два тела: одно из них - конус мень-ше-го раз-ме-ра, а вто-рое и на-зы-ва-ет-ся усе-чен-ным ко-ну-сом (см. рис. 6).

Рис. 6. По-лу-чен-ные тела при па-рал-лель-ном се-че-нии

Таким об-ра-зом, усе-чен-ный конус - это часть ко-ну-са, за-клю-чен-ная между его ос-но-ва-ни-ем и па-рал-лель-ной ос-но-ва-нию плос-ко-стью. Как и в слу-чае с ко-ну-сом, усе-чен-ный конус может иметь в ос-но-ва-нии круг - в этом слу-чае его на-зы-ва-ют кру-го-вым. Если ис-ход-ный конус был пря-мым, то и усе-чен-ный конус на-зы-ва-ют пря-мым. Как и в слу-чае с ко-ну-са-ми, мы будем рас-смат-ри-вать ис-клю-чи-тель-но пря-мые кру-го-вые усе-чен-ные ко-ну-сы, если спе-ци-аль-но не ука-за-но, что речь идет о непря-мом усе-чен-ном ко-ну-се или в его ос-но-ва-ни-ях не круги.

Рис. 7. Вра-ще-ние пря-мо-уголь-ной тра-пе-ции

Наша гло-баль-ная тема - тела вра-ще-ния. Усе-чен-ный конус - не ис-клю-че-ние! Вспом-ним, что для по-лу-че-ния ко-ну-са мы рас-смат-ри-ва-ли пря-мо-уголь-ный тре-уголь-ник и вра-ща-ли его во-круг ка-те-та? Если по-лу-чен-ный конус пе-ре-сечь плос-ко-стью, па-рал-лель-ной ос-но-ва-нию, то от тре-уголь-ни-ка оста-нет-ся пря-мо-уголь-ная тра-пе-ция. Ее вра-ще-ние во-круг мень-шей бо-ко-вой сто-ро-ны и даст нам усе-чен-ный конус. За-ме-тим снова, что речь, ра-зу-ме-ет-ся, идет толь-ко о пря-мом кру-го-вом ко-ну-се (см. рис. 7).

Рис. 8. Ос-но-ва-ния усе-чен-но-го ко-ну-са

Сде-ла-ем несколь-ко за-ме-ча-ний. Ос-но-ва-ние пол-но-го ко-ну-са и круг, по-лу-ча-ю-щий-ся в се-че-нии ко-ну-са плос-ко-стью, на-зы-ва-ют ос-но-ва-ни-я-ми усе-чен-но-го ко-ну-са (ниж-ним и верх-ним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Об-ра-зу-ю-щие усе-чен-но-го ко-ну-са

От-рез-ки об-ра-зу-ю-щих пол-но-го ко-ну-са, за-клю-чен-ные между ос-но-ва-ни-я-ми усе-чен-но-го ко-ну-са, на-зы-ва-ют об-ра-зу-ю-щи-ми усе-чен-но-го ко-ну-са. Так как все об-ра-зу-ю-щие ис-ход-но-го ко-ну-са равны и все об-ра-зу-ю-щие от-се-чен-но-го ко-ну-са равны, то и об-ра-зу-ю-щие усе-чен-но-го ко-ну-са равны (не пу-тать от-се-чен-ный и усе-чен-ный!). От-сю-да и сле-ду-ет рав-но-бед-рен-ность тра-пе-ции осе-во-го се-че-ния (см. рис. 9).

От-ре-зок оси вра-ще-ния, за-клю-чен-ный внут-ри усе-чен-но-го ко-ну-са, на-зы-ва-ют осью усе-чен-но-го ко-ну-са. Этот от-ре-зок, ра-зу-ме-ет-ся, со-еди-ня-ет цен-тры его ос-но-ва-ний (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усе-чен-но-го ко-ну-са

Вы-со-та усе-чен-но-го ко-ну-са - это пер-пен-ди-ку-ляр, про-ве-ден-ный из точки од-но-го из ос-но-ва-ний к дру-го-му ос-но-ва-нию. Чаще всего, в ка-че-стве вы-со-ты усе-чен-но-го ко-ну-са рас-смат-ри-ва-ют его ось.

Рис. 11. Осе-вое се-че-ние усе-чен-но-го ко-ну-са

Осе-вое се-че-ние усе-чен-но-го ко-ну-са - это се-че-ние, про-хо-дя-щее через его ось. Оно имеет вид тра-пе-ции, чуть позже мы до-ка-жем ее рав-но-бед-рен-ность (см. рис. 11).

Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса

Рис. 12. Конус с вве-ден-ны-ми обо-зна-че-ни-я-ми

Най-дем пло-щадь бо-ко-вой по-верх-но-сти усе-чен-но-го ко-ну-са. Пусть ос-но-ва-ния усе-чен-но-го ко-ну-са имеют ра-ди-у-сы и , а об-ра-зу-ю-щая равна (см. рис. 12).

Рис. 13. Обо-зна-че-ние об-ра-зу-ю-щей от-се-чен-но-го ко-ну-са

Най-дем пло-щадь бо-ко-вой по-верх-но-сти усе-чен-но-го ко-ну-са как раз-ность пло-ща-дей бо-ко-вых по-верх-но-стей ис-ход-но-го ко-ну-са и от-се-чен-но-го. Для этого обо-зна-чим через об-ра-зу-ю-щую от-се-чен-но-го ко-ну-са (см. рис. 13).

Тогда ис-ко-мая .

Рис. 14. По-доб-ные тре-уголь-ни-ки

Оста-лось вы-ра-зить .

За-ме-тим, что из по-до-бия тре-уголь-ни-ков , от-ку-да (см. рис. 14).

Можно было бы вы-ра-зить , раз-де-лив на раз-ность ра-ди-у-сов, но нам это не нужно, ведь в ис-ко-мом вы-ра-же-нии как раз фи-гу-ри-ру-ет про-из-ве-де-ние . Под-ста-вив вме-сто него , окон-ча-тель-но имеем: .

Неслож-но те-перь по-лу-чить и фор-му-лу для пло-ща-ди пол-ной по-верх-но-сти. Для этого до-ста-точ-но до-ба-вить пло-ща-ди двух кру-гов ос-но-ва-ний: .

Задача

Рис. 15. Ил-лю-стра-ция к за-да-че

Пусть усе-чен-ный конус по-лу-чен вра-ще-ни-ем пря-мо-уголь-ной тра-пе-ции во-круг ее вы-со-ты . Сред-няя линия тра-пе-ции равна , а боль-шая бо-ко-вая сто-ро-ны - (см. рис. 15). Найти пло-щадь бо-ко-вой по-верх-но-сти по-лу-чен-но-го усе-чен-но-го ко-ну-са.

Ре-ше-ние

По фор-му-ле мы знаем, что .

Об-ра-зу-ю-щей ко-ну-са будет яв-лять-ся боль-шая сто-ро-на ис-ход-ной тра-пе-ции, то есть Ра-ди-у-сы ко-ну-са - это ос-но-ва-ния тра-пе-ции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма ос-но-ва-ний тра-пе-ции вдвое боль-ше ее сред-ней линии, то есть она равна . Тогда .

Сходство усеченных конуса и пирамиды

Об-ра-ти-те вни-ма-ние, что, когда мы го-во-ри-ли о ко-ну-се, мы про-во-ди-ли па-рал-ле-ли между ним и пи-ра-ми-дой - фор-му-лы были ана-ло-гич-ны-ми. Так же и здесь, ведь усе-чен-ный конус очень похож на усе-чен-ную пи-ра-ми-ду, так что фор-му-лы для пло-ща-дей бо-ко-вой и пол-ной по-верх-но-стей усе-чен-но-го ко-ну-са и пи-ра-ми-ды (а скоро будут и фор-му-лы для объ-е-ма) ана-ло-гич-ны.

Задача

Рис. 1. Ил-лю-стра-ция к за-да-че

Ра-ди-у-сы ос-но-ва-ний усе-чен-но-го ко-ну-са равны и , а об-ра-зу-ю-щая равна . Найти вы-со-ту усе-чен-но-го ко-ну-са и пло-щадь его осе-во-го се-че-ния (см. рис. 1).

Который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса , а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником - это уже пирамида .

Круговой конус - это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков , которые соединяют вершину конуса с точками основания). Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса . Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной n -угольной пирамиды, вписанной в конус:

S n =½P n l n ,

где P n - периметр основания пирамиды, а l n - апофема.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R 1 , R 2 и образующей l получаем такую формулу:

S=(R 1 +R 2)l .

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

• Когда площадь основания имеет предел, значит, объём конуса тоже имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

• Центр тяжести каждого конуса с объёмом, имеющим предел, находится на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить такой формулой:

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

S=πR(l+R),

где R — радиус основания, l — длина образующей.

• Объём кругового конуса , формула:

• Для усечённого конуса (не только прямого или кругового) объём, формула:

где S 1 и S 2 — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом - это один из конических сечений.

Геометрия является разделом математики, изучающим структуры в пространстве и отношение между ними. В свою очередь она также состоит из разделов, и одним из них является стереометрия. Она предусматривает изучение свойств объемных фигур, находящихся в пространстве: куба, пирамиды, шара, конуса, цилиндра и др.

Конус - это тело в евклидовом пространстве, которое ограничивает коническая поверхность и плоскость, на которой лежат концы ее образующих. Его образование происходит в процессе вращения прямоугольного треугольника вокруг любого из его катетов, поэтому он относится к телам вращения.

Составляющие конуса

Различают следующие виды конусов: косой (или наклонный) и прямой. Косым называется тот, ось которого пересекается с центром его основания не под прямым углом. По этой причине высота в таком конусе не совпадает с осью, так как она является отрезком, который опущен из вершины тела на плоскость его основания под углом 90°.

Тот конус, ось которого расположена перпендикулярно к его основанию, называется прямым. Ось и высота в таком геометрическом теле совпадают по причине того, что вершина в нем расположена над центром диаметра основания.

Конус состоит из следующих элементов:

1. Круга, являющегося его основанием.
2. Боковой поверхности.
3. Точки, не лежащей в плоскости основания, называющейся вершиной конуса.
4. Отрезков, которые соединяют точки круга основания геометрического тела и его вершину.

Все эти отрезки являются образующими конуса. Они наклонные к основанию геометрического тела, и в случае прямого конуса их проекции равны, так как вершина равноотдалена от точек круга основания. Таким образом, можно сделать вывод, что в правильном (прямом) конусе образующие равны, то есть имеют одинаковую длину и образуют одинаковые углы с осью (или высотой) и основанием.

Так как в косом (или наклонном) теле вращения вершина смещена по отношению к центру плоскости основания, образующие в таком теле имеют разную длину и проекцию, поскольку каждая из них находится на разном расстоянии от двух любых точек круга основания. Кроме того, углы между ними и высотой конуса также будут отличаться.

Длина образующих в прямом конусе

Как написано ранее, высота в прямом геометрическом теле вращения перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, образующая, высота и радиус основания создают в конусе прямоугольный треугольник.

То есть, зная радиус основания и высоту, при помощи формулы из теоремы Пифагора, можно вычислить длину образующей, которая будет равна сумме квадратов радиуса основания и высоты:

l 2 = r 2 + h 2 или l = √r 2 + h 2

где l - образующая;

r - радиус;

h - высота.

Образующая в наклонном конусе

Исходя из того, что в косом, или наклонном конусе образующие имеют не одинаковую длину, рассчитать их без дополнительных построений и вычислений не получится.

Прежде всего необходимо знать высоту, длину оси и радиус основания.

r 1 = √k 2 - h 2

где r 1 - это часть радиуса между осью и высотой;

k - длина оси;

h - высота.

В результате сложения радиуса (r) и его части, лежащей между осью и высотой (r 1), можно узнать полную сформированного образующей конуса, его высотой и частью диаметра:

где R - катет треугольника, образованного высотой, образующей и частью диаметра основания;

r - радиус основания;

r 1 - часть радиуса между осью и высотой.

Пользуясь все той же формулой из теоремы Пифагора, можно найти длину образующей конуса:

l = √h 2 + R 2

или, не производя отдельно расчет R, объединить две формулы в одну:

l = √h 2 + (r + r 1) 2 .

Несмотря на то, прямой или косой конус и какие вводные данные, все способы нахождения длины образующей всегда сводятся к одному итогу - использованию теоремы Пифагора.

Сечение конуса

Осевым называется плоскость, проходящая по его оси либо высоте. В прямом конусе такое сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в котором высотой треугольника является высота тела, его сторонами выступают образующие, а основание - это диаметр основания. В равностороннем геометрическом теле осевое сечение является равносторонним треугольником, так как в этом конусе диаметр основания и образующие равны.

Плоскость осевого сечения в прямом конусе является плоскостью его симметрии. Причиной этому служит то, что его вершина находится над центром его основания, то есть плоскость осевого сечения делит конус на две одинаковые части.

Так как в наклонном объемном теле высота и ось не совпадают, плоскость осевого сечения может не включать в себя высоту. Если осевых сечений в таком конусе можно построить множество, так как для этого необходимо соблюдать лишь одно условие - оно должно проходить только через ось, то осевое сечение плоскости, которому будет принадлежать высота этого конуса, можно провести лишь одно, потому что количество условий увеличивается, а, как известно, две прямые (вместе) могут принадлежать только одной плоскости.

Площадь сечения

Упомянутое ранее осевое сечение конуса представляет собой треугольник. Исходя из этого, его площадь можно рассчитать по формуле площади треугольника:

S = 1/2 * d * h или S = 1/2 * 2r * h

где S - это площадь сечения;

d - диаметр основания;

r - радиус;

h - высота.

В косом, или наклонном конусе сечение по оси также является треугольником, поэтому в нем площадь сечения рассчитывается аналогично.

Объем

Поскольку конус является объемной фигурой в трехмерном пространстве, то можно вычислить его объем. Объемом конуса называется число, которое характеризует это тело в единице измерения объема, то есть в м 3 . Расчет не зависит от того, прямой он или косой (наклонный), так как формулы для двух этих видов тел не отличаются.

Как указано ранее, образование прямого конуса происходит вследствие вращения прямоугольного треугольника по одному из его катетов. Наклонный же, или косой конус образуется иначе, поскольку его высота смещена в сторону от центра плоскости основания тела. Тем не менее такие отличия в строении не влияют на методику расчета его объема.

Расчет объема

Любого конуса выглядит следующим образом:

V = 1/3 * π * h * r 2

где V - это объем конуса;

h - высота;

r - радиус;

π - константа, равная 3,14.

Для расчета высоты тела необходимо знать радиус основания и длину его образующей. Поскольку радиус, высота и образующая объединяются в прямоугольный треугольник, то высоту можно рассчитать по формуле из теоремы Пифагора (a 2 + b 2 = c 2 или в нашем случае h 2 + r 2 = l 2 , где l - образующая). Высота при этом будет рассчитываться путем извлечения квадратного корня из разности квадратов гипотенузы и другого катета:

a = √c 2 - b 2

То есть высота конуса будет равна величине, полученной после извлечения квадратного корня из разности квадрата длины образующей и квадрата радиуса основания:

h = √l 2 - r 2

Рассчитав таким методом высоту и зная радиус его основания, можно вычислить объем конуса. Образующая при этом играет важную роль, так как служит вспомогательным элементом в расчетах.

Аналогичным образом, если известна высота тела и длина его образующей, можно узнать радиус его основания, извлекая квадратный корень из разности квадрата образующей и квадрата высоты:

r = √l 2 - h 2

После чего по той же формуле, что указана выше, рассчитать объем конуса.

Объем наклонного конуса

Так как формула объема конуса одинакова для всех видов тела вращения, отличие в его расчете составляет поиск высоты.

Для того чтобы узнать высоту наклонного конуса, вводные данные должны включать длину образующей, радиус основания и расстояние между центром основания и местом пересечения высоты тела с плоскостью его основания. Зная это, можно с легкостью рассчитать ту часть диаметра основания, которая будет являться основанием прямоугольного треугольника (образованного высотой, образующей и плоскостью основания). После чего, снова используя теорему Пифагора, произвести расчет высоты конуса, а впоследствии и его объема.

Рис. 1. Предметы из жизни, имеющие форму усеченного конуса

Как вы думаете, откуда в геометрии берутся новые фигуры? Все очень просто: человек в жизни сталкивается с похожими объектами и придумывает, как бы их назвать. Рассмотрим тумбу, на которой сидят львы в цирке, кусок морковки, который получается, когда мы нарезали только часть ее, действующий вулкан и, например, свет от фонарика (см. рис. 1).

Рис. 2. Геометрические фигуры

Мы видим, что все эти фигуры похожей формы - и снизу, и сверху они ограничены кругами, но они сужаются кверху (см. рис. 2).

Рис. 3. Отсечение верхней части конуса

Это похоже на конус. Только не хватает верхушки. Мысленно представим, что мы берем конус и отсекаем от него верхнюю часть одним взмахом острого меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усеченный конус

Получается как раз наша фигура, называется она усеченный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Сечение, параллельное основанию конуса

Пусть дан конус. Проведем плоскость, параллельную плоскости основания этого конуса и пересекающую конус (см. рис. 5).

Она разобьет конус на два тела: одно из них - конус меньшего размера, а второе и называется усеченным конусом (см. рис. 6).

Рис. 6. Полученные тела при параллельном сечении

Таким образом, усеченный конус - это часть конуса, заключенная между его основанием и параллельной основанию плоскостью. Как и в случае с конусом, усеченный конус может иметь в основании круг - в этом случае его называют круговым. Если исходный конус был прямым, то и усеченный конус называют прямым. Как и в случае с конусами, мы будем рассматривать исключительно прямые круговые усеченные конусы, если специально не указано, что речь идет о непрямом усеченном конусе или в его основаниях не круги.

Рис. 7. Вращение прямоугольной трапеции

Наша глобальная тема - тела вращения. Усеченный конус - не исключение! Вспомним, что для получения конуса мы рассматривали прямоугольный треугольник и вращали его вокруг катета? Если полученный конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то от треугольника останется прямоугольная трапеция. Ее вращение вокруг меньшей боковой стороны и даст нам усеченный конус. Заметим снова, что речь, разумеется, идет только о прямом круговом конусе (см. рис. 7).

Рис. 8. Основания усеченного конуса

Сделаем несколько замечаний. Основание полного конуса и круг, получающийся в сечении конуса плоскостью, называют основаниями усеченного конуса (нижним и верхним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Образующие усеченного конуса

Отрезки образующих полного конуса, заключенные между основаниями усеченного конуса, называют образующими усеченного конуса. Так как все образующие исходного конуса равны и все образующие отсеченного конуса равны, то и образующие усеченного конуса равны (не путать отсеченный и усеченный!). Отсюда и следует равнобедренность трапеции осевого сечения (см. рис. 9).

Отрезок оси вращения, заключенный внутри усеченного конуса, называют осью усеченного конуса. Этот отрезок, разумеется, соединяет центры его оснований (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усеченного конуса

Высота усеченного конуса - это перпендикуляр, проведенный из точки одного из оснований к другому основанию. Чаще всего, в качестве высоты усеченного конуса рассматривают его ось.

Рис. 11. Осевое сечение усеченного конуса

Осевое сечение усеченного конуса - это сечение, проходящее через его ось. Оно имеет вид трапеции, чуть позже мы докажем ее равнобедренность (см. рис. 11).

Рис. 12. Конус с введенными обозначениями

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Пусть основания усеченного конуса имеют радиусы и , а образующая равна (см. рис. 12).

Рис. 13. Обозначение образующей отсеченного конуса

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса как разность площадей боковых поверхностей исходного конуса и отсеченного. Для этого обозначим через образующую отсеченного конуса (см. рис. 13).

Тогда искомая .

Рис. 14. Подобные треугольники

Осталось выразить .

Заметим, что из подобия треугольников , откуда (см. рис. 14).

Можно было бы выразить , разделив на разность радиусов, но нам это не нужно, ведь в искомом выражении как раз фигурирует произведение . Подставив вместо него , окончательно имеем: .

Несложно теперь получить и формулу для площади полной поверхности. Для этого достаточно добавить площади двух кругов оснований: .

Рис. 15. Иллюстрация к задаче

Пусть усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее высоты . Средняя линия трапеции равна , а большая боковая стороны - (см. рис. 15). Найти площадь боковой поверхности полученного усеченного конуса.

Решение

По формуле мы знаем, что .

Образующей конуса будет являться большая сторона исходной трапеции, то есть Радиусы конуса - это основания трапеции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма оснований трапеции вдвое больше ее средней линии, то есть она равна . Тогда .

Обратите внимание, что, когда мы говорили о конусе, мы проводили параллели между ним и пирамидой - формулы были аналогичными. Так же и здесь, ведь усеченный конус очень похож на усеченную пирамиду, так что формулы для площадей боковой и полной поверхностей усеченного конуса и пирамиды (а скоро будут и формулы для объема) аналогичны.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Радиусы оснований усеченного конуса равны и , а образующая равна . Найти высоту усеченного конуса и площадь его осевого сечения (см. рис. 1).