Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок при изгибе
При
плоском поперечном изгибе, когда в
сечениях балки действуют и изгибающий
моментМ
и
поперечная сила Q
,
возникают не только нормальные
,
но и касательные напряжения
.
Нормальные напряжения при поперечном изгибе рассчитываются по тем же формулам, что и при чистом изгибе:
; 
.(6.24)
П
Рис.6.11.
Плоский изгиб
Касательные напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;
Касательные напряжения всюду параллельны силе Q .
Рассмотрим консольную балку, находящуюся в условиях поперечного изгиба под действием силы Р . Построим эпюры внутренних усилий О y , и М z .
На расстоянии x от свободного конца балки выделим элементарный участок балки длиной d x и шириной, равной ширине балки b . Покажем внутренние усилия, действующие по граням элемента: на грани cd возникает поперечная сила Q y и изгибающий момент М z , а на грани ab – также поперечная сила Q y и изгибающий момент M z +dM z (так как Q y остается постоянной по длине балки, а момент М z изменяется, рис. 6.12). На расстоянии у от нейтральной оси отсечем часть элемента ab c d , покажем напряжения, действующие по граням полученного элемента mbcn , и рассмотрим его равновесие. На гранях, являющихся частью наружной поверхности балки, нет напряжений. На боковых гранях элемента от действия изгибающего момента М z , возникают нормальные напряжения:
;
(6.25)
.
(6.26)
Кроме
того, на этих гранях от действия поперечной
силы Q
y
,
возникают касательные напряжения
,
такие же напряжения возникают по закону
парности касательных напряжений и на
верхней грани элемента.
Составим уравнение равновесия элемента mbcn , проецируя равнодействующие рассмотренных напряжений на ось x :
. (6.29)
Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собой статический момент боковой грани элемента mbcn относительно оси x , поэтому можем записать
.
(6.30)
Учитывая, что, согласно дифференциальным зависимостям Журавского Д. И. при изгибе,
,
(6.31)
выражение для касательных напряжений при поперечном изгибе можем переписать следующим образом (формула Журавского )
.
(6.32)
Проанализируем формулу Журавского.
Q y – поперечная сила в рассматриваемом сечении;
J z – осевой момент инерции сечения относительно оси z ;
b – ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения;
–статический
момент относительно оси z
части сечения, расположенной выше (или
ниже) того волокна, где определяется
касательное напряжение:
, (6.33)
где
и F
"
– координата центра тяжести и площадь
рассматриваемой части сечения,
соответственно.
6.6 Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки
Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним нагрузкам строят эпюры изменения внутренних усилий по ее длине и определяют опасные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.
При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):
Сечение, в котором изгибающий момент М z достигает своего максимального по модулю значения;
Сечение, в котором поперечная сила Q y , достигает своего максимального по модулю значения;
Сечение, в котором и изгибающий момент М z и поперечная сила Q y достигают по модулю достаточно больших величин.
В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и касательных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:
Точка, в которой нормальные напряжения
,
достигают своего максимального
значения, - то есть точка на наружной
поверхности балки наиболее удаленная
от нейтральной оси сечения;
Точка, в которой касательные напряжения
достигают своего максимального
значения, - точка, лежащая на нейтральной
оси сечения;
Точка, в которой и нормальные напряжения, и касательные напряжения, достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа тавра или двутавра, где ширина сечения по высоте непостоянна).
При поперечном изгибе наряду с изгибающим моментом в сечении действует поперечная сила, которая представляет собой равнодействующую касательных напряжений.
Следствием действия касательных напряжений является искажение формы поперечного сечения, что противоречит гипотезе плоских сечений. Во-первых, сечение может испытывать деплаиацшо, т.е. не остается плоским. Во-вторых, сечение после деформирования не остается перпендикулярным к изогнутой оси бруса.
Учет данных эффектов проводится в более сложных теориях изгиба стержней. Вместе с тем для большого количества инженерных задач полученные для чистого изгиба формулы могут быть обобщены на случай поперечного изгиба. Оценка пределов применимости данных формул и ответственность за полученный результат относятся к компетенции расчетчика.
Для определения значений нормальных напряжений при поперечном изгибе широко используется формула (5.10). Далее покажем, что в случае постоянной поперечной силы эта формула дает точный результат, а в случае переменной поперечной силы полученные для определения нормаль-
ных напряжений формулы лают погрешность порядка - где h - высота сечения; / - длина балки.
Для определения величины касательных напряжений рассмотрим элемент бруса длиной dx (рис. 5.8).
Рис. 5.8.
В нравом и левом сечениях элемента нормальные напряжения отличаются друг от друга на с/о, что обусловлено различием в значениях изгибающего момента на dM mr . Слагаемым, связанным с изменением т на длине dx, можно пренебречь как величиной высшего порядка малости.
Сделаем допущение: касательные напряжения в сечении направлены параллельно действующей в этом сечении перерезывающей силе Q.
Определим значения касательных напряжений в точках, отстоящих на расстояние у от нейтральной оси. Для этого отсечем плоскостью cd от элемента бруса длиной dx часть abed.
В сечении на высоте у действуют касательные напряжения т. В то же время в перпендикулярном к нему сечении, т.е. в плоскости, параллельной плоскости xz, в соответствии с законом парности касательных напряжений будут действовать такой же величины касательные напряжения.
Составим уравнение равновесия элемента, спроецировав для этого все действующие на этот элемент силы на направление оси х. Входящие в уравнение равновесия интегралы вычислим в пределах верхней части сечения А*:
В результате преобразований получим следующую формулу для вычисления касательных напряжений:
Согласно формуле (5.10) и учетом соотношения (5.3) найдем производную нормального напряжения:
и учтем это значение в выражении для касательного напряжения:
В результате получаем следующую формулу для вычисления касательных напряжений:
где Q - поперечная сила в сечении; S* - статический момент отсеченной части сечения площадью Л* относительно центральной оси; / изг - момент инерции сечения относительно центральной оси; h - ширина сечения в месте определения касательных напряжений.
Формула (5.21) носит название формулы Журавского К
Рассмотрим балку с прямоугольным поперечным сечением (рис. 5.9, а). Определим нормальные и касательные напряжения в опасном сечении. Опасным является сечение Л, в котором действует максимальный изгибающий момент М нзг = -Я Что касается поперечной силы, то ее значение в любом сечении бруса постоянно и равно -F.
Рис . 5.9.
Согласно формулам (5.15) и (5.20) определим значение максимального нормального напряжения:
‘Журавский Дмитрий Иванович (1828-1891) - русский ученый-механик и инженер, специалист в области мостостроения и строительной механики, первым решил задачу определения касательных напряжений при поперечном изгибе балки.
Вычислим величины, входящие в формулу (5.21):
В точке сечения, отстоящей на расстояние у от нейтральной оси, значение касательного напряжения равно
Максимальное напряжение возникает при у = 0 в волокнах, принадлежащих центральной оси 0т.
Это напряжение формально имеет отрицательное значение, но его знак можно не принимать во внимание, поскольку для расчета это неважно.
Оценим соотношение максимальных величин нормальных и касательных напряжений, возникающих в сечении балки:
Согласно расчетной схеме бруса полагается, что - 1. Из этого следует, что касательные напряжения имеют более высокий порядок малости по сравнению с нормальными напряжениями.
Обобщим оценку (5.24) для балки длиной / и характерным размером сечения а. При величине поперечной силы, равной F, изгибающий момент оценивается как М изг ~ FI. Для характерных значений осевого момента инерции сечения, статического момента части сечения и момента сопротивления изгибу получаем следующие оценки:
Следовательно, для максимальных нормального и касательного напряжений справедливы оценки
Окончательно получаем следующую оценку отношения максимальных касательных и нормальных напряжений:
Полученные для конкретного прямоугольного поперечного сечения оценки можно распространить и на случай произвольного сечения, с оговоркой, что поперечное сечение рассматривается как массивное. Для тонкостенных профилей приведенный выше вывод о возможности пренебрежения касательными напряжениями по сравнению с нормальными напряжениями справедлив не всегда.
Следует отметить, что при получении формулы (5.21) мы не были до конца последовательны и, проводя преобразования, допустили следующую погрешность. Л именно, формула для нормальных напряжений, которую мы использовали, была получена в предположении справедливости гипотезы плоских сечений, т.е. при отсутствии депланации поперечного сечения. Приложив к элементу касательные напряжения, мы допустили возможность искажения прямых углов, чем нарушили вышеупомянутую гипотезу. Поэтому полученные расчетные формулы носят приближенный характер. Эпюра касательных напряжений, показанная на рис. 5.9, б , объясняет характер искривления поперечных сечений балки при поперечном изгибе. В крайних точках касательные напряжения равны нулю, следовательно, соответствующие им волокна будут нормальными к верхней и нижней поверхностям балки. На нейтральной линии, где действуют максимальные касательные напряжения, будут иметь место максимальные сдвиговые деформации.
Вместе с тем отметим, что при постоянном в пределах участка значении поперечной силы искривление всех сечений будет одинаковым, следовательно, эффект искривления не будет отражаться на величине продольных деформаций растяжения и сжатия волокон, вызываемых изгибающим моментом.
Для поперечных сечений непрямоугольной формы дополнительные погрешности привносятся в формулу (5.21) по причине невыполнения принятых допущений о характере распределения касательных напряжений. Так, например, для круглого поперечного сечения касательные напряжения в точках у контура сечения должны быть направлены по касательной к контуру, а не параллельно поперечной силе Q. Это означает, что касательные напряжения должны обладать составляющими, действующими как вдоль оси г/, так и вдоль оси г.
Однако, несмотря на имеющиеся противоречия, полученные формулы дают вполне удовлетворительные результаты при проведении практических расчетов. Сопоставление значений касательных напряжений, определенных по формуле (5.21), с результатами, полученными точными методами, показывает, что ошибка в величине наибольшего касательного напряжения не превышает 5%, т.е. эта формула пригодна для проведения практических расчетов.
Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от чистого изгиба в поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент М мзг и поперечная сила Q. Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (см. рис. 5.9, б), а наибольшие касательные напряжения имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно но нормальным и касательным напряжениям:
При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту , а поперечная сила оказывается равной нулю . Этот случай изгиба носит название чистого изгиба . Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.
В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.
Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков , в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.
Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза ) . Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.
Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.
Изгибающий момент
представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил
, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном
виде: 
(1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х
Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения.
Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.
Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации
, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол
. Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится
и будет равна:
, где -это радиус кривизны
изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше
нейтрального слоя, изменит свою длину
. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у.
Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине,тогда:
Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.
Теперь перейдем к напряжениям
, т.е. будем рассматривать физическую
сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании
волокон используем при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2)
имеем
(3),
т.е. нормальные напряжения
при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону
. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим (3)
в уравнение (1)
и вынесем за знак интеграла дробь как постоянную величину, тогда имеем
. Но выражение - это осевой момент инерции сечения относительно оси х - I х
.
Его размерность см 4 , м 4
Тогда
,откуда
(4) ,где - это кривизна изогнутой оси балки, а - жесткость сечения балки при изгибе.
Подставим полученное выражение кривизны (4)
в выражение (3)
и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения:
(5)
Т.о. максимальные
напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.
Отношение 
(6)
называют осевым моментом сопротивления сечения
. Его размерность см 3 , м 3
. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.
Тогда максимальные напряжения: 
(7)
Условие прочности при изгибе:
(8)
При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения ,т.к. имеется поперечная сила . Касательные напряжения усложняют картину деформирования , они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений . Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5) . Таким образом,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.
Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии.
При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать 
Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3)
и получим
Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что этот интеграл представляет собой статический момент площади
поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х 
, и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.
Рассмотрим балку, находящуюся в условиях плоского прямого изгиба под действием произвольных поперечных нагрузок в главной плоскости Оху (рис. 7.31, а). Рассечем балку на расстоянии х от ее левого конца и рассмотрим равновесие левой части. Влияние правой части в этом случае нужно заменить действием изгибающего момента Л/ и поперечной силы Q y в проведенном сечении (рис. 7.31, б). Изгибающий момент Л7 в общем случае не является постоянным по величине, как это имело место при чистом изгибе, а изменяется по длине балки. Так как изгибающий момент М
согласно (7.14) связан с нормальными напряжениями о = а х, то нормальные напряжения в продольных волокнах также будут изменяться по длине балки. Следовательно, в случае поперечного изгиба нормальные напряжения являются функциями переменных х и у: а х = а х (х, у).
При поперечном изгибе в сечении балки действуют не только нормальные, но и касательные напряжения т (рис. 7.31, в), равнодействующей которых является поперечная сила Q y:
Наличие касательных напряжений х ух сопровождается появлением угловых деформаций у. Касательные напряжения, как и нормальные, распределены по сечению неравномерно. Следовательно, неравномерно будут распределены и угловые деформации, связанные с ними законом Гука при сдвиге. Это означает, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба сечения балки не остаются плоскими (нарушается гипотеза Я. Бернулли).
Искривление поперечных сечений можно наглядно продемонстрировать на примере изгиба консольной балки прямоугольного сечения из резины, вызванного приложенной на конце сосредоточенной силой (рис. 7.32). Если предварительно на боковых гранях нанести прямые линии, перпендикулярные к оси балки, то после изгиба эти линии не остаются прямыми. При этом они искривляются так, что наибольший сдвиг имеет место на уровне нейтрального слоя.
Более точными исследованиями установлено, что влияние искажения поперечных сечений на величину нормальных напряжений незначительно. Оно зависит от отношения высоты сечения h к длине балки / и при h / / о х при поперечном изгибе обычно используется формула (7.14), выведенная для случая чистого изгиба.
Второй особенностью поперечного изгиба является наличие нормальных напряжений о у, действующих в продольных сечениях балки и характеризующих взаимное давление между продольными слоями. Эти напряжения возникают на участках, где имеется распределенная нагрузка q, ив местах приложения сосредоточенных сил. Обычно эти напряжения имеют весьма малую величину по сравнению с нормальными напряжениями а х. Особый случай представляет собой действие сосредоточенной силы, в области приложения которой могут возникнуть значительные местные напряжения а у.
Таким образом, бесконечно малый элемент в плоскости Оху в случае поперечного изгиба находится в условиях двухосного напряженного состояния (рис. 7.33).
Напряжения т и о, так же как и напряжение o Y , в общем слу- чае являются функциями координат* и у. Они должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия, которые для двухосного напряженного состояния (a z = T yz = = 0) при отсутствии
объемных сил имеют следующий вид:
Эти уравнения могут быть использованы для определения касательных напряжений = т и нормальных напряжений о у. Наиболее просто это сделать для балки прямоугольного поперечного сечения. В этом случае при определении т принимается предположение об их равномерном распределении по ширине сечения (рис. 7.34). Это предположение было сделано известным русским ученым-мостостроителем Д.И. Журавским. Исследования показывают, что это предположение практически точно соответствует действительному характеру распределения касательных напряжений при изгибе для достаточно узких и высоких балок (b « И).
Воспользовавшись первым из дифференциальных уравнений (7.26) и формулой (7.14) для нормальных напряжений а х, получим
Интегрируя это уравнение по переменной у, находим
где f(x)
- произвольная функция, для определения которой используем условие отсутствия касательных напряжений на нижней грани балки:
С учетом этого граничного условия из (7.28) находим
Окончательно выражение для касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях балки, принимает следующий вид:
В силу закона парности касательных напряжений возникают также касательные напряжения т, = т в продольных сечениях
ху ух
балки, параллельных нейтральному слою.
Из формулы (7.29) видно, что касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения балки по закону квадратной параболы. Наибольшее значение касательные напряжения имеют в точках на уровне нейтральной оси при у = 0, а в крайних волокнах балки приy = ±h/2 они равны нулю. Используя формулу (7.23) для момента инерции прямоугольного сечения, получим
где F= bh - площадь поперечного сечения балки.
Эпюра т приведена на рис. 7.34.
В случае балок непрямоугольного поперечного сечения (рис. 7.35) определение касательных напряжений т из уравнения равновесия (7.27) затруднительно, так как граничное условие для т не во всех точках контура поперечного сечения известно. Это связано с тем, что в этом случае в поперечном сечении действуют касательные напряжения т, не параллельные поперечной силе Q y . В самом деле, можно показать, что в точках у контура поперечного сечения полное касательное напряжение т направлено по касательной к контуру. Рассмотрим в окрестности произвольной точки контура (см. рис. 7.35) бесконечно малую площадку dF в плоскости поперечного сечения и перпендикулярную к ней площадку dF" на боковой поверхности балки. Если полное напряжение т в точке контура направлено не по касательной, то оно может быть разложено на две составляющие: x vx в направлении нормали v к контуру и х в направлении касательной t к контуру. Следовательно, согласно закону парности касательных напряжений на площадке dF" долж-
но действовать касательное напряжение х равное x vv . Если боковая поверхность свободна от касательных нагрузок, то составляющая x vv = z vx = 0, то есть полное касательное напряжение х должно быть направлено по касательной к контуру поперечного сечения, как это показано, например, в точках Л и В контура.
Следовательно, касательное напряжение х как в точках контура, так и в любой точке поперечного сечения можно разложить на составляющие х их.
Для определения составляющих х касательного напряжения в балках непрямоугольного поперечного сечения (рис. 7.36, б) предположим, что сечение имеет вертикальную ось симметрии и что составляющая х полного касательного напряжения х, как и в случае прямоугольного поперечного сечения, равномерно распределена по его ширине.
С помощью продольного сечения, параллельного плоскости Oxz и проходящего на расстоянии у от нее, и двумя поперечными сечениями хих + dx вырежем мысленно из нижней части балки бесконечно малый элемент длиной dx (рис. 7.36, в).
Предположим, что изгибающий момент М изменяется в пределах длины dx рассматриваемого элемента балки, а поперечная сила Q постоянна. Тогда в поперечных сечениях х и х + dx балки будут действовать одинаковые по величине касательные напряжения х, а нормальные напряжения, возникающие от изгибающих моментов M z m M z + dM„, будут соответственно равны а и а + da. По горизонтальной грани выделенного элемента (на рис. 7.36, в он показан в аксонометрии) согласно закону парности касательных напряжений будут действовать напряжения x v „ = х.
ху ух
Равнодействующие R и R + dR нормальных напряжений о и о + d приложенных к торцам элемента, с учетом формулы (7.14) равны
где
статический момент отсеченной площади F (на рис. 7.36, б заштрихована) относительно нейтральной оси Oz у, - вспомогательная переменная, изменяющаяся в пределах у
Равнодействующая касательных напряжений т, приложенных
ху
к горизонтальной грани элемента, с учетом введенного предположения о равномерном распределении этих напряжений по ширине Ь(у ) может быть найдена по формуле
Условие равновесия элемента?Х=0 дает
Подставляя значения равнодействующих сил, получим
Отсюда с учетом (7.6) получим формулу для определения касательных напряжений:
Эта формула в отечественной литературе называется формулой Д.И. Журавского.
В соответствии с формулой (7.32) распределение касательных напряжений т по высоте сечения зависит от изменения ширины сечения b (у) и статического момента отсеченной части сечения S OTC (y).
С помощью формулы (7.32) касательные напряжения наиболее просто определяются для рассмотренной выше балки прямоугольного сечения (рис. 7.37).
Статический момент отсеченной площади сечения F qtc равен
Подставив 5° тс в (7.32), получим выведенную ранее формулу (7.29).
Формула (7.32) может использоваться при определении касательных напряжений в балках со ступенчато-постоянной шириной сечения. В пределах каждого участка с постоянной шириной касательные напряжения изменяются по высоте сечения по закону квадратной параболы. В местах скачкообразного изменения ширины сечения касательные напряжения также имеют скачки или разрывы. Характер эпюры т для такого сечения приведен на рис. 7.38.
Рис. 7.37
Рис. 7.38
Рассмотрим распределение касательных напряжений в двутавровом сечении (рис. 7.39, а) при изгибе в плоскости Оху. Двутавровое сечение может быть представлено в виде сопряжений трех узких прямоугольников: двух горизонтальных полок и вертикальной стенки.
При вычислении т в стенке в формуле (7.32) нужно принять b(y) - d. В результате получим
где S° 1C вычисляется как сумма статических моментов относительно оси Oz площади полки F n и части стенки F, заштрихованных на рис. 7.39, а:
Наибольшее значение касательные напряжения т имеют на уровне нейтральной оси при у = 0:
где - статический момент площади половины сечения относительно нейтральной оси:
Для прокатных двутавров и швеллеров величина статического момента половины сечения приведена в сортаменте.
Рис. 7.39
На уровне примыкания стенки к полкам касательные напряжения 1 ? равны
где S" - статический момент площади сечения полки относительно нейтральной оси:
Вертикальные касательные напряжения т в полках двутавра не могут быть найдены по формуле (7.32), так, как вследствие того что b :»t, предположение об их равномерном распределении по ширине полки становится неприемлемым. На верхней и нижней гранях полки эти напряжения должны быть равны нулю. Поэтому т в
ух
полках весьма малы и не представляют практического интереса. Значительно больший интерес представляют горизонтальные касательные напряжения в полках т, для определения которых рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента, выделенного из нижней полки (рис. 7.39, б).
Согласно закону парности касательных напряжений на продольной грани этого элемента, параллельной плоскости Оху, действует напряжение x xz , равное по величине напряжению т, действующему в поперечном сечении. Вследствие малой толщины полки двутавра эти напряжения можно принять равномерно распределенными по толщине полки. С учетом этого из уравнения равновесия элемента 5^=0 будем иметь
Отсюда находим
Подставляя в эту формулу выражение для а х
из (7.14) и учитывая, что
получим
Учитывая, что
где S° TC -
статический момент отсеченной площади полки (на рис. 7. 39, а
заштрихована дважды) относительно оси Oz,
окончательно получим
В соответствии с рис. 7.39, а
где z - переменная, отсчитываемая от оси Оу.
С учетом этого формулу (7.34) можно представить в виде
Отсюда видно, что горизонтальные касательные напряжения изменяются по линейному закону вдоль оси Oz и принимают наибольшее значение при z = d/ 2:
На рис. 7.40 показаны эпюры касательных напряжений т и т^, а также направления этих напряжений в полках и стенке двутавра при действии в сечении балки положительной поперечной силы Q . Касательные напряжения образно говоря образуют в сечении двутавра непрерывный поток, направленный в каждой точке параллельно контуру сечения.
Перейдем к определению нормальных напряжений а у в продольных сечениях балки. Рассмотрим участок балки с равномерно распределенной нагрузкой по верхней грани (рис. 7.41). Поперечное сечение балки примем прямоугольным.
Используем для определения второе из дифференциальных уравнений равновесия (7.26). Подставив в это уравнение формулу (7.32) для касательных напряжений т ух, с учетом (7.6) получим
Выполнив интегрирование по переменной у, находим
Здесь f(x) - произвольная функция, которая определяется с помощью граничного условия. По условиям задачи балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q по верхней грани, а нижняя грань свободна от нагрузок. Тогда соответствующие граничные условия записываются в виде
Используя второе из этих условий, получим
С учетом этого формула для напряжений а у примет следующий вид:
Из этого выражения видно, что напряжения о изменяются по высоте сечения по закону кубической параболы. При этом выполняются оба граничных условия (7.35). Наибольшее значение напряжение принимает на верхней поверхности балки при y=-h /2:
Характер эпюры а у приведен на рис. 7.41.
Для оценки величин наибольших напряжений о. а, и т и со- отношений между ними рассмотрим, например, изгиб консольной балки прямоугольного поперечного сечения с размерами bxh, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки, приложенной к верхней грани балки (рис. 7.42). Наибольшие по абсолютной величине напряжения возникают в заделке. В соответствии с формулами (7.22), (7.30) и (7.37) эти напряжения равны
Так как обычно для балок l/h » 1, то из полученных выражений следует, что напряжения с х по абсолютной величине превосходят напряжения т и, особенно, а у. Так, например, при 1/И = = 10 получим а х /т ху = 20‘, о х /с у = 300.
Таким образом, наибольший практический интерес при расчете балок на изгиб представляют напряжения а х, действующие в поперечных сечениях балки. Напряжения с у, характеризующие взаимное давление продольных слоев балки, пренебрежимо малы по сравнению с o v .
Полученные в этом примере результаты свидетельствуют о том, что введенные в § 7.5 гипотезы вполне обоснованы.
Плоский (прямой) изгиб - когда изгибающий момент действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения, т.е. все силы лежат в плоскости симметрии балки. Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы : продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .
Слой,
в котором отсутствуют удлинения,
называется нейтральным
слоем
(осью,
линией). При N=0
и Q=0,
имеем случай чистого
изгиба.
Нормальные напряжения:
,
- радиус кривизны нейтрального слоя,
y
- расстояние от некоторого волокна до
нейтрального слоя.
43) Внецентренное растяжение и сжатие
Растяжение и сжатие
- нормальное
напряжение
[Па], 1Па (паскаль) = 1 Н/м 2 ,
10 6 Па = 1 МПа (мегапаскаль) = 1 Н/мм 2
N - продольная (нормальная) сила [Н] (ньютон); F - площадь сечения [м 2 ]
- относительная деформация [безразмерная величина];
L - продольная деформация [м] (абсолютное удлинение), L - длина стержня [м].
-закон
Гука -
= Е
Е - модуль упругости при растяжении (модуль упругости 1-го рода или модуль Юнга) [МПа]. Для стали Е= 210 5 МПа = 210 6 кг/см 2 (в "старой" системе единиц).
(чем больше Е, тем менее растяжимый материал)
;
- закон Гука
EF - жесткость стержня при растяжении (сжатии).
При растяжении стержня он "утоньшается", его ширина - а уменьшается на поперечную деформацию - а.
-относительная
поперечная деформация.
-коэффициент
Пуассона [безразмерная величина];
лежит в пределах от 0 (пробка) до 0,5 (каучук); для стали 0,250,3.
Если продольная сила и поперечное сечение не постоянны, то удлинение стержня:
Работа
при растяжении:
,
потенциальная энергия:
47.Интеграл Мора
Универсальный метод определения перемещений (линейных и углов поворота) – метод Мора. К системе прикладывают единичную обобщенную силу в точке, для которой ищется обобщенное перемещение. Если определяется прогиб, то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, если определяется угол поворота, то – безразмерный единичный момент. В случае пространственной системы действуют шесть компонентов внутренних усилий. Обобщенное перемещение определяется
48.Определение напряжения при совместном действии изгиба и кручения
Изгиб с кручением
Совместное
действие изгиба с кручением наиболее
частый случай нагружения валов. Возникают
пять компонентов внутренних усилий:
Q x ,
Q y ,
M x ,
M y ,
M z =M кр.
При расчете строят эпюры изгибающих
M x ,
M y ,
и крутящих M кр
моментов и определяют опасное сечение.
Результирующий изгибающий момент
.
Макс. нормальные и касательные напряжения
в опасных точках (A,B):
,
,
(для круга: W=
–осевой
момент сопротивления,
W р =
–полярный
момент сопр-ния сечения).
Главные напряжения в наиболее опасных точках (А и В):
Проверка прочности проводится по одной из теорий прочности:
IV-ая: теория Мора:
где m=[ p ]/[ c ] – допуст. напр.растяжения/сжатия (для хрупких материалов – чугун).
Т
.к.W p =2W,
получаем:
В числителе – приведенный момент по принятой теории прочности. ;
II-ая: , при коэф.Пуасссона=0,3;
III-я:
или
одной формулой:
,
откуда момент сопротивления:
,
диаметр вала:
.
Формулы годятся и при расчете кольцевого
сечения.